উদাহরণ

ধরা যাক, আমাদের কাছে নিচের দুটি একঘাত সমীকরণ রয়েছে:

$$4x + y = 11$$

আমরা এই সমীকরণগুলোকে জোট আকারে প্রকাশ করতে পারি, যাতে সমাধান করা সহজ হয়।

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ

উপরের সমীকরণগুলোকে আমরা $AX = B$ আকারে লিখতে পারি, যেখানে:

A=(24​31​),X=(xy​),B=(511​)

তাহলে সমীকরণটি হবে:

(24​31​)(xy​)=(511​)

ধাপ ২: $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

আমাদের সমীকরণটি $AX = B$ আকারে, এবং $X$-এর সমাধান পেতে হলে $X = A^{-1}B$ আকারে পুনর্লিখন করতে হবে। এজন্য প্রথমে $A$-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ নির্ণয় করতে হবে।

$A$-এর নির্ণায়ক $|A|$ নির্ণয় করা

∣A∣=(2×1)−(3×4)=2−12=−10

যেহেতু $|A| \neq 0$, তাই $A$-এর একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স রয়েছে।

সহগুণক ও অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে $A^{-1}$ নির্ণয় করা

প্রতিটি উপাদানের সহগুণক নির্ণয় করে এবং অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে $A^{-1}$ নির্ণয় করা যায়:

A−1=∣A∣1​⋅adj(A)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ এর জন্য অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স হলো:

adj(A)=(1−4​−32​)

তাহলে,

A−1=−101​(1−4​−32​)=(−0.10.4​0.3−0.2​)

ধাপ ৩: $X = A^{-1}B$ ব্যবহার করে সমাধান নির্ণয়

এখন $X = A^{-1}B$ ব্যবহার করে $X$-এর মান নির্ণয় করা যাক:

X=(−0.10.4​0.3−0.2​)(511​)

গুণফল নির্ণয় করে পাই:

$$= \begin{pmatrix} -0.5 + 3.3 \\ 2 - 2.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.8 \\ -0.2 \end{pmatrix}$$

সমাধান

অতএব, সমীকরণ সিস্টেমের সমাধান হলো:

x=2.8,y=−0.2

এইভাবে, বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণের সমাধান করা যায়।

ক্রেমারের নিয়ম (Cramer's Rule) হল একঘাত সমীকরণ জোট সমাধানের একটি পদ্ধতি, যা ম্যাট্রিক্স নির্ণায়ক ব্যবহার করে সমীকরণের প্রতিটি অজ্ঞাত রাশি নির্ণয় করে। ক্রেমারের নিয়ম কেবল তখনই ব্যবহার করা যায় যখন সমীকরণগুলোর সংখ্যা এবং অজ্ঞাত রাশির সংখ্যা সমান হয় এবং সমীকরণ জোটের নির্ণায়ক শূন্য না হয়।

উদাহরণ

ধরা যাক, আমাদের কাছে দুটি একঘাত সমীকরণ রয়েছে:

\[
2x + 3y = 5
\]
\[
4x + y = 11
\]

আমরা ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করে এই সমীকরণগুলোর সমাধান বের করব।

ধাপ ১: কফিশিয়েন্ট ম্যাট্রিক্স এবং এর নির্ণায়ক নির্ণয়

প্রথমে আমরা কফিশিয়েন্ট ম্যাট্রিক্স \(A\) তৈরি করি এবং এর নির্ণায়ক \(|A|\) নির্ণয় করি।

\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}
\]

\[
|A| = (2 \times 1) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10
\]

যেহেতু \(|A| \neq 0\), তাই ক্রেমারের নিয়ম প্রয়োগ করা সম্ভব।

ধাপ ২: \(x\) এবং \(y\)-এর জন্য নির্ণায়ক নির্ণয় করা

\(x\)-এর নির্ণায়ক \(|A_x|\) নির্ণয় করা

\(A_x\) হলো সেই ম্যাট্রিক্স যা কফিশিয়েন্ট ম্যাট্রিক্স \(A\)-এর প্রথম কলামটি \(B\) ভেক্টর দিয়ে প্রতিস্থাপন করে গঠিত হয়।

\[
A_x = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 11 & 1 \end{pmatrix}
\]

\[
|A_x| = (5 \times 1) - (3 \times 11) = 5 - 33 = -28
\]

\(y\)-এর নির্ণায়ক \(|A_y|\) নির্ণয় করা

\(A_y\) হলো সেই ম্যাট্রিক্স যা কফিশিয়েন্ট ম্যাট্রিক্স \(A\)-এর দ্বিতীয় কলামটি \(B\) ভেক্টর দিয়ে প্রতিস্থাপন করে গঠিত হয়।

\[
A_y = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 11 \end{pmatrix}
\]

\[
|A_y| = (2 \times 11) - (5 \times 4) = 22 - 20 = 2
\]

ধাপ ৩: ক্রেমারের নিয়ম প্রয়োগ করে \(x\) এবং \(y\) নির্ণয় করা

ক্রেমারের নিয়ম অনুযায়ী,

\[
x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-28}{-10} = 2.8
\]

\[
y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{2}{-10} = -0.2
\]

সমাধান

অতএব, সমীকরণ জোটের সমাধান হলো:

\[
x = 2.8, \quad y = -0.2
\]

এইভাবে, ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করে একঘাত সমীকরণের সমাধান করা যায়।